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牛吃草问题，也就是有名的牛顿问题，是牛顿的《普遍的算术》中提到的一道经典问题：12头牛4周吃草3格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少头牛18周能吃完（格尔为牧场面积单位）？其实质是一道“消长”问题。
牛吃草问题典型的特点隐含在建模之中：随着时间的推移，草的总量在不断地增加。草的总量包含两部分，一部分是原有草量，属于不变量；另一部分是新生长的草量，随着时间的推移在不断地增加。另外，模型中还要假设两个不变量：一是每头牛每天的吃草量是不变的，二是草每天生长的速度不变。
这样做的目的其实是为了简化问题。就像初中学习直线运动，统统都简化为匀速直线运动，到了高中基本模型就变成了匀变速直线运动，到了大学，运动问题直接应用微积分的相关知识处理。从这个角度去分析，实际上我们现在要说的是最简单的牛吃草问题，毕竟科学是逐步逼近真实，但永远到达不了真实，这也给科学家研究自然现象带来了无尽的兴趣。
一、应用算术的思维 *** 解决问题
牛吃草作为一个基本的数学模型，我看了很多辅导的视频，其实他们除了没有考虑每个孩子的认知水平不同外，对于问题的阶梯式设置还是很好的。具体做法是：先将牛限制在一片草地上吃草，这样就在很大程度上减少了变化量，使得问题有了层次感，孩子思考起来也就相对来说简单了很多，这也是我采用的 *** 。
例题：有一片牧场，牧草每天匀速生长，这片牧草可供24头牛吃6周，18头牛吃10周，问可供19头牛吃几周？
解法一：
具体解法是：先假设每头牛每周吃草量为1份，可按照不变量分成三个步骤：
1、先求牧场平均每周生长的牧草量，也就是新牧草的生长速度,属于不变量
草的生长速度等于（对应牛的头数乘以吃的较多的周数减去相应的牛的头数乘以吃的较少的周数）除以（吃的较多的周数减去吃的较少的周数），文字叙述总是复杂，列式计算就比较直观了。
列式计算：
2、再求原有草量，等于牛头数乘以吃的周数减去草生长的速度乘以周数
列式计算：
3、最后求19头牛吃草的周数
19头牛每周要吃19份草，每周生长的牧草量是9份，将19头牛分成两组：一组专门吃新生长的牧草，需要9头牛；剩余的10头吃原有草，这样就可以很巧妙地计算出来周数。
解法二：利用两种牛吃草 *** 做出示意图
从两种吃法中就可以看出：多出的草量是4周生长的牧草的份数，进而参照解法1将题目解答出来。
解法二的意义并不仅仅做出示意图，解出来题目，如果将牛放到示意图的左端，将新生草放到原有草量的右端，这道题目其实就可以变成同时不同地的两个物体的追击问题，这将对于孩子在初中乃至于高中的物理学科的学习帮助是很大的。
解法三：19头牛每周要吃19份草，先让19头把每周生长的9份新生草吃完，这样他们是吃不饱的，然后大家一起每周需要分享原有草为：
则原有草可供吃的天数为：
这几种解法里有些算式虽然相同，但是思维过程却不尽相同，这大致就是这些经典题目中蕴含的数学思维的美妙之处吧。
解法四：应用分数解决
步骤如下：之一步先求出来牧场平均每周生长的草量，即牧草的生长速度（不变量）
把18头牛吃10的周草的总量看作是“1”，平均每头牛每周吃了单位“1”的 ，这样，24头牛6周吃草的总量是：
比单位“1”少了： ，少的这些的原因是牧草少生长了4周，说明少的 就是这个牧场4周的新长的草量，则牧场平均每周新生的草量为：
第二步：求牧场的原有草量（不变量）
从之一步的假设就可以看出来：单位“1”的总草量包括了原有草量和10周的新生草量。由于每周新生草量是单位“1”的 ，所以10周的新生草量为单位“1”的 ，则原有草量就是：
第三步:求这个牧场可供19头牛吃几天
19头牛每周的吃草量为：
去掉每周的新生草量的 ，19头牛每天还要从原有草量中吃掉：
也就是说19头牛只要每周吃掉原有草量的 ，不足部分从新生草量中补足，所以原有草量可供19头牛每周消耗的天数就是所要求的天数：
解法五：比例的思想
先将问题转化成一般形式，从而找出这类问题的比例关系；牧场上有y公顷草，牧草每天匀速生长，生长率为 ，这片牧草可供 头牛吃 周， 头牛吃 周，问可供 头牛吃几周？
根据题意可以知道：x头牛吃的草，等于牧场原有草量加上t周新生长的草，也等于x头牛t周内吃完的草。依照这个等量关系，我们可以列出来以下三个等式，抓住草的生长率是一定的，从而得到比例关系。
所以：
利用以上的公式，就可以解决牛吃草问题
设19头牛吃n周，可根据以上的公式就可以得到：
解之得：
二、应用代数的思想进行求解
例题：有一片牧场，牧草每天匀速生长，这片牧草可供24头牛吃6周，18头牛吃10周，问可供19头牛吃几周？
解法六：初等代数的 ***
设每周有x头牛吃掉新生长得草，根据原有草量不变，就可以列出以下方程，从而得到x的值。
设可供19头牛吃y周，依然抓住原有草量不变可得：
或者：
解法七：利用方程组
假设原有草量为x，每周每头牛吃掉的草量为a，每周新生长草量为b，
设这片草地可供19头牛吃y周，则：
所以：
可得：
解法八：应用函数的思想
函数的思想解决问题，就是将问题涉及到的各种常量和变量统一到一个函数关系式中，这样可以体现出来数学的简洁美。
设牧场原有草量为a，每周新生长的草量为b，每头牛每周吃掉的草量为c，则草地的草量y可以看作是经过x周和牛的头数n的函数，可得到如下的函数表达式：
根据题意可得到以下方程组：
可供19头牛吃9周.
其实牛吃草问题是一个很经典得问题，值得孩子在不同得年龄阶段进行练习，涉及到得数学思维 *** 比较多，在现实中也有很多的类似问题：车站检票问题、超市排队付款问题、水池抽水问题、大坝泄洪问题以及初高中物理学中得追击问题等等。列式计算结果也是比较复杂多变的，比如解法八中得到的方程组，其实就是齐次线性方程组，解答过程中如果考虑到其具有非零解的判定定理，应用行列式解答，会减少很多的计算量。
其实这样做的目的并不是说牛吃草问题有多么复杂，用多种解法只是帮助孩子能将各种 *** 思路融会贯通，将各个知识点能够联系起来理解，从而建立自己解决问题的独特思维。其实，这个问题多年以后可能会遗忘，但是思考问题的方式，将会一直产生影响。
大概就是这个原因：爱因斯坦曾说：“所谓智慧，就是把在学校学过的东西都忘掉后，剩下来的东西”。
那么大家应该有所感悟：奥数这东西要因人而异，本身是很好的训练数学思维的好题，但是如果听了培训班的，在小学为初中乃至高中的知识提前买单，除了被忽悠的成分，是不是你心理还有和别人相互卷的攀比心作祟？不管你的经济实力是不是能匹配这种残酷的竞争，一定要考虑孩子的认知水平的发展程度，不要死记硬背，严重地挫伤了孩子学习的兴趣，摧毁了孩子的自信，充当了潮流的帮凶。请大家思考以下的几个问题，应该可以减少你的一点焦虑心理。
1、天才是有的，但不一定是你孩子，你的家庭有没有孕育天才的土壤？
2、奥数的很好的，但不是人人都能学的，95%以上的孩子其实是不适合奥数训练的。
3、适度的练习是可以的，可以有助于提高孩子的成绩，但是你的付出不要想着在孩子身上一定能结出丰硕的果实。每个孩子的认知发展时间段是不同的，你了解你的孩子的认知发展程度吗？盲目的进行奥赛培训，你付出了代价的同时，也可能在严重地挫伤孩子学习兴趣。
4、奥数培训如火如荼这么多年，你见过几个数学大师是他们培养出来的？